Latex Maths

Thursday, April 16, 2015

什么是 kNN 算法?(What is k-nearest-neighbor?)

学习 machine learning 的最低要求是什么?  我发觉要求可以很低,甚至初中程度已经可以。  首先要学习一点 Python 编程,譬如这两本小孩子用的书:【1】【2】便可。   数学方面,只需要知道「两点间距离」的公式(中学的座标几何会读到)。

这本书第二章介绍 kNN 算法,包括 Python 程序:


其他章节的数学要求可能不同,但我目的是想说明,很多实用的人工智能的原理,其实也很简单的。

kNN 是什么?  For example:



开始时,所有 data points 的 labels (颜色)已经是知道的。

kNN 要解决的问题是:  图中那「?」点的 label 应该是什么颜色?

用肉眼直观来看,那「?」的位置,是在蓝色点密集的区域,所以最「贴切」的标签应该是蓝色

kNN 的算法就是:
  • 在已知的 data points 中,逐一点检视(把這每一點叫作 P):
    • 首先计算「?」和 P 之间的距离
  • 所有距离计算之后,将他们由小至大 sort 好
  • 从 sort 好的序列,取最前的 k 个(即距离最接近「?」的 k 个点子)
  • 对这 k 个点,读出他们的 label(颜色)是什么,这是问题中已经知道的
  • 所有这些 labels(颜色),哪个出现最多?  (亦即是说,最接近「?」的 k 个点子,它们最普遍是什么颜色?)
  • 这出现次数最多的颜色,就是答案

例如,使用者要求 k = 5 时:


最接近「?」的 5 个点,就是以「?」为中心的虚线圆圈内的 5 个点。  它们的颜色顺序依次为:[ ] 。  出现的次数是 4  1 ,所以最高次数的颜色是


如何用 Python 写 kNN ?


1. 计算点与「?」之间距离


首先,回忆中学的坐标几何里,两点间距离的公式。  假设那两点是 A 和 B,它们的座标分别是 $(x_A, y_A)$ 和 $(x_B, y_B)$,则:
$$ \mbox{distance D} = \sqrt{ (x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 } $$
注意,在这公式里,用 $x_A - x_B$ 还是 $x_B - x_A$ 是没有分别的,因为那是正数和负数的分别,而在 $()^2$ 之后便没有分别。(换句话说,计算 A,B 之间的距离,和计算 B,A 之间的距离,是一样的。)

每个点子有 3 个坐标,分别是: x = 「坐飞机旅程」、y = 「吃雪糕的量」、z = 「玩电玩时间」,而 labels 是: 「很喜欢」、「普通喜欢」、「不喜欢」。

因为坐标有 3 个,所以处理的空间是 3 度空间,但为了初学者方便,我们只考虑其中两个座标,所以局限在 2 度空间(平面上)。   如果要 generalize 到 N-度空间,那需要用到 N-度空间中 两点间距离的公式,留给读者作为练习

写程式时,首先要知道那些点子是如何储存於某个 variable 中。  在书中的 "dating" 例子里,那些点子的坐标是 datingDataMat,而 labels 是储存在 datingLabels。

(妳可以在 Python 命令行,呼叫 file2matrix 函数去准备那些点子,然后试试印出 datingDataMat 和 datingLabel 这两个 variables 的内容。 例如 datingDataMat[ : , 1 ] 可以印出所有点子的第二个坐标(即吃雪糕量)。 那「:」的意思是,不指定指标的 begin 和 end,所以是对那个指标「全取」。)

我们用比较浅显的方法重写书中的 Python 函数(書裡的程式用了 vector 和 matrix 的表示法,比較簡潔,但較難懂):

    def classify1(inP, dataSet, labels, k):
        N = len(dataSet)
        Ds = array([0] * N)
        for i in range(N):
             x2 = (inP[0] - dataSet[i][0])**2
             y2 = (inP[1] - dataSet[i][1])**2
             D = sqrt(x2 + y2)
             Ds[i] = D

第 1 句: 定义我们的 function。  inP 是 input point 的意思。

第 2 句: N 是我们 dataSet 的 size,即总共有多少点子。

第 3 句: 我们要计算距离 D,而且有 N 个这样的距离,所以要将结果储存在 array 里。  但使用 array 之前,要先定义它,并填上 0(这叫初始化,initialize)。  Ds 这名字的意思是「很多D」(如英语中的 dogs = dog 的众数)。

第 4 句是 loop:  对於每一点,我们用 i 这个 index「指着」它。  Index 是处理 array 的惯用做法,因为 array 容许妳读取任意位置的元素。

第 5、6 句:  计算 $\Delta x^2$ 和 $\Delta y^2$ 的值,注意,因为我们储存 x, y 的方法是 [x, y] 这样的 list, 所以 x 用指标 [0] 读取,y 用指标 [1] 读取。

第 7 句: 计算 $D = \sqrt{ \Delta x^2 + \Delta y^2 }$。

第 8 句: 将计算好的 D 放进 array Ds 里。

2. 将距离排序


很简单,一句:
    Dsorted = Ds.sort()
注意,這些程式段落要適當地 indent 好,不然 Python 會出錯的。  这句仍屬於 classify1 函数。

3. 读出点的颜色


刚才说错了,因为 Ds 排序之后,再弄不清哪个点子对应於哪个 label,所以我们要用的是 "arg sort" (argument sort,即是用 指标 来排序)。

例如,设 a = array( [17, 38, 10, 49] ),
a.sort() 会给出 [10, 17, 38, 49],
但 a.argsort() 会给出 [2, 0, 1, 3],这些是 indices(指标)。
换句话说: argsort 的结果是 旧的 indices 的新的排法



Python 程式:
    D_sorted = Ds.argsort()
    first_k = D_sorted[0:k]        # 提取前 k 个元素(但這句其實不需用到)

现在要找出这 k 个点子的 labels,我们可以创造一个新的 array 储存它们:

    first_k_labels = array([0]*k)  # 准备空的 array
    for i in range(0,k):
        first_k_labels[i] = labels[ D_sorted[ i ]]

最后那句要说明一下: 如果写 labels[i] 那就是第 i 个元素的 label。 但我们要的是 排序 好之后的元素的 label,所以我们先「look up」这个 D_sorted array,找出排序后的元素的指标,再用那指标「look up」那 labels array。  (就像查字典,我们想查某个中文字的日语翻译,但我们只有汉英字典和英日字典,所以要两次 look up,出现了 array1[ array2[ i ] ] 这样的语法。 这是很常见的。)

4. 哪个颜色出现最多?


用这个 loop 计算每个 label 出现的次数:
    like1 = 0              # 标签是「不喜欢这男孩」 的点的个数
    like2 = 0              # 标签是「普通喜欢这男孩」的点的个数
    like3 = 0              # 标签是「非常喜欢这男孩」的点的个数
    for i in range(0, k):
        label = first_k_labels[i]
        if label == 1:
            like1 += 1
        elif label == 2:
            like2 += 1
        elif label == 3:
            like3 += 1

然后,找出出现次数最多那个 label:
    if like1 > like2 and like1 > like3:      # 如果 like1 出现最多
        best_label = 1                        # 答案是「不喜欢这男孩」
    elif like2 > like1 and like2 > like3:    # 如果 like2 出现最多
        best_label = 2                        # 答案是「普通喜欢这男孩」
    else:                                    # 如果 like3 出现最多
        best_label = 3                        # 答案是「非常喜欢这男孩」

5. 完工!

    return best_label


Testing

实际的 Python program,还要加上这几行 "header":

# -*- coding: utf-8 -*-          # 加了這句可以用中文 comments

from numpy import array
from math import sqrt

运行结果:



这例子里,「?」的坐标是 [4.54e+04, 4.98e+00],那是我看了数据后作出来的。 4.54e+04 是 scientific notation,即是 $4.54 \times 10^4$。

我把 k 增加到 600,才开始看到 like2 不是 0。

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