什么是线性代数？ (What is linear algebra?)

"80% of mathematics is linear algebra." --- Raoul Bott （当代数学家, 1923-2005）

「线性」的概念在现代数学中非常重要。

向量 (vector)，是一支由原点指出的箭头。

在 2D 空间中，它可以用两个数（座标）表示：


在 3D 中，用三个座标表示：


一般来说，在 n 度空间中的 vector 可以用 n 个数表示：
$$\vec{x} = ( x_1, x_2, ... , x_n)$$

线性和非线性的函数的图像：



注意： 在现代数学上，「线性」用抽象的向量定义比较好，抽象的向量并不需要座标描述。

「向量」的抽象定义 （基本意思是说，向量是一些可以「相加」和「拉长拉短」的东西） :



「线性变换」（linear transformation）是一个 map，叫它做 $T()$，它将空间中的任意 vector 转移到另一位置，

$$\vec{v} \mapsto \vec{v}'$$
$$\vec{v} \mapsto T(\vec(v))$$

线性变换的例子：




非线性变换的一个例子：

什麼是對偶空間 (dual space)？

協變與逆變 (co-variant and contra-variant)

微分形式 (differential forms)

同調與上同調 (homology and co-homology)

李代數 (Lie algebra)